Sistema de Ecuaciones Lineales

     Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales, es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

     Los métodos gráficos, de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra.

     El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

        Método de sustitución

Pasos.

1. Despejamos la "y" de la primera ecuación: 

2. Sustituimos en la otra ecuación: 

3. Resolvemos la ecuación resultante:

4. Para averiguar el valor de sustituimos el valor de x = 5 en la expresión obtenida el  paso 1

Ejemplo: 

2x + y  = 7
3x - 2y = 21

y = 7 - 2x

3x - 2(7-2x) = 21

3x - 14 + 14x = 21

                 7x = 35

                   x = 5

y = 7 - 2 * 5

y = -3

Sol.(5.-3)

         Método de Reducción

Pasos.

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 Ejemplo:

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

3x – 4y = -6 (2)     -->   6x – 8y = -12

2x + 4y = 16 (-3)   -->  -6x -12y = -48

Restamos y resolvemos la ecuación:

6x - 8y = -12

-6x -12y = -48

       -20y = -60

            y = 3

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

2x +4 . 3 = 16

2x + 12 = 16

2x = 4

x=2

Solución:

y = 3     x= 2

Sol.(2,3)

  

Método de Igualación

Pasos:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

3x-4y=-6    (1)
            2x+4y=16   (2)

1 Despejémosla incógnita  de la primera y segunda ecuación:

            3x- (-6)+4y          x=-6+4y/4

            2x-16-4y             x=16-4y/2

2 Igualamos ambas expresiones:

             (-6+4y/3)-(16+4y/2)

3 Resolvemos la ecuación:

  2(-6+4y)-3(16-4y)

  -12+8y-48-12y

    8y+12y-48+12

  20y=60     

  y=3 Rta.

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

x= -6+4(3)/3

x=-6+12/3

x=6/3

x=2  Rta.

5 Sol.(2,3)

Método gráfico

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde.

 Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

 El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en los siguientes pasos:

1.      Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

2.      Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

3.      Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades:

a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

c.  Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Ejemplo:

Hay que representar cada ecuación. Despejamos la letra y en la primera ecuación.

Hay que hacer una tabla de valores para obtener tres puntos de la recta.

Se eligen tres números (mejor que no sean consecutivos).

Se sustituyen estos tres números en la fórmula de y.

Se representan los puntos obtenidos.

Se traza la recta que ha de pasar por los tres puntos.

Se hace lo mismo con la otra ecuación.

Se eligen los tres valores de x que no provoquen decimales al calcular y.

La solución del sistema se obtiene de las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas.